Unvollständigkeit ||.||1- Norm < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Smasal |
| Aufgabe | [mm] ||f||_{1} [/mm] := [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}
[/mm]
Ist C[a,b] unter dieser Norm vollständig? |
Hallo, die Beantwortung dieser Frage ist wohl nein.
Kann mir jemand ein knackiges Gegenbeispiel nennen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]||f||_{1}[/mm] := [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}[/mm]
>
>
> Ist C[a,b] unter dieser Norm vollständig?
> Hallo, die Beantwortung dieser Frage ist wohl nein.
setze $a=0$ und $b=2$. Setze [mm] $f_n(t):=t^n$ [/mm] für $0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1$ und [mm] $f_n(t)=1$ [/mm] für $t [mm] \in [/mm] [1,2]$.
Offenbar sind alle [mm] $f_n$ [/mm] stetig auf $[0,2]$. Überlege Dir, dass [mm] $(f_n)_n$ [/mm] bzgl. [mm] $||.||_1$ [/mm] Cauchy ist (d.h. [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0$ [mm] $\exists$ [/mm] $N$: [mm] $\forall [/mm] n,m [mm] \ge [/mm] N$: [mm] $||f_n-f_m||_1 \le \varepsilon$), [/mm] es aber kein $f [mm] \in [/mm] C[0,2]$ geben kann, so dass [mm] $f_n \to [/mm] f$ (bzgl. [mm] $||.||_1$ [/mm] natürlich, d.h. es kann kein $f [mm] \in [/mm] C[0,2]$ so existieren, dass [mm] $||f_n-f||_1 \to [/mm] 0$).
P.S.:
Quelle: Dirk Werner, Funktionalanalysis, 5. erweiterte Auflage, Seite 13, Nach Korallar I.1.5 
Dort steht auch eine ausführliche Argumentation, warum es ein solches $f$ nicht geben kann.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Smasal |
Danke, das wars!
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